OpenGL中投影矩阵的推导

本文主要是对OpenGL红宝书（第八版）第五章中给出的透视投影矩阵和正交投影矩阵做一个简单推导。投影矩阵的目的是：原始点P(x,y,z)对应后投影点P'(x',y',z')满足x',y',z'∈[-1,1]。

一、透视投影                                                                                                                   

下图为透视投影的视锥体：

注：上图中忘了标注了，远裁剪平面距离原点距离为f，近裁剪平面距离原点距离为n。

设P(x0, y0, z0)，我们分别求各个坐标在投影后的值。将P点投影到近平面上，首先看x方向上的投影，沿着过P点，且平行于xoz平面切一刀，有如下图：

假设投影后的x坐标为：x_n(在近裁剪平面的投影)，由相似三角形的性质，有

，可以得到：

同理，有

这样其实实现了透视投影，近大远小的效果，因为z0越大，则x1，y1就越小。为了将这两个值转换到[-1,1]区间内，设l和r分别为近裁剪平面左、右边框的x坐标，即l=-w/2，r=w/2（如图所示，w为上下边框的长度），为了使任何投影到近裁剪平面的点都在区间内，转换后，[l',r']∈[0,1]，其中l',r'分别为l和r转换后的值。因为是线性转换，可领x'=kx+b，则下式成立：

求得，

再根据之前的结果，可以得到归一化后的x坐标为：

同理，设t和p分别为近裁剪平面上下边框的y坐标，则：

投影后的坐标都有一个共同因子——[-1/z0]，正好对应变换后w=-z0。

接下来，我们看z要满足什么要求。为简化讨论，根据以上结论，我们假设透视变换有下述形式：

于是：

最后的变换矩阵如下：