一个退休程序员，用高中几何方法，让百年数学难题逼近理论极限
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试想一下，如果你的裤子破了好几个洞，每个洞形状各异，但是宽度都不超过1厘米。
该如何设计一个通用的补丁，能够把所有的洞都补上呢？
这个问题在数学上叫做：万有覆盖问题（universal covering problem)。
已经让数学家思考了一百年。
乍一听上去，这像是一个很简单的问题。
但是稍微想一想，似乎又不那么简单。
比如一个边长为1的等腰三角形，和一个直径为1 的圆形，两者的直径都为 1。
但是，这个三角形就不能被圆形覆盖。
而最近，一个退休程序员，用高中方法取得了最新进展。
为什么这么难？
这个难题的的提出者，法国著名数学家：勒贝格(Henri Léon Lebesgue)。
他提出了勒贝格积分，拓宽了积分学的研究范围。
在1914时，他给好朋友Julius Pál（也是数学家）写信时提了一个问题：
在一个平面上，找一个最小区域，让它可以覆盖直径不超过1个单位的面积？
直径不超过1个单位的任意形状，就是一个封闭曲线的边缘上，最远两点的距离不超过1个单位。
这个问题最难的部分是：
无法穷举所有直径为1的形状到底长什么样子。
直径为1的形状千千万，到底用哪种万能补丁才能全部覆盖它们呢？
万有覆盖“通用”方法
但是这个问题并不难上手，只要你有高中数学基础，就可以试一下。
接下来，让我们一起看看数学家们目前解决这个问题的方法。
从直径为1的需要覆盖的区域R入手。
虽然不知道R长什么样子，能够确定的一点是：它绝对不会超过1个单位的宽度。
那么就先假设它有2个点——A和B，距离为1个单位。
现在，我们假设除了A和B之外，在R区域内还存在一个点C。
那么C可能在哪里呢？
它不可能大于A的1个单位，这意味着它必须在以A为圆心且半径为1的圆中。
但另外一个问题是，C和B的距离也不能超过1个单位。
所以C也必须在以B为圆心且半径为1的圆中。
所以，C的位置就确定在了两个圆形的交集位置。
到A和B的距离不能超过1，这一条件不仅仅适用于点C，还适用于区域R中的每个点。
所以R中的每一个点都必须位于这两个圆的交集区域中。
换句话说，这个区域可以覆盖直径为1的所有可能的R集，是一个万有覆盖区域。
但是这个区域不是最小面积，需要对它进行一下修剪。
注意，圆的相交点形成两个等边三角形，顶点分别是是A、B，以及距离AB中点垂直距离为√3/2的上下两个点。
因为√3/2大于1/2，我们可以画两条平行线，与AB平行，距离AB 1/2个单位。
现在，考虑下图中红色的区域。
因为两个平行线之间的距离为1个单位，所以直径为1的集合不可能同时出现在两个红色区域。就可以去掉一个。
这样万有覆盖面积从原来的(2π/3)-(√3/2)≈1.228，减少到(π/2)-1/2≈1.071
从一个基本的万有覆盖开始，可以通过去掉一个无关紧要的部分，来缩小它的面积。
这就是数学家们得到最小万有覆盖的方法。
优化方法：Pál六边形
通过更先进的技术，我们还能找到一些其他的简单形状。
Pál利用定宽曲线的特性表明：
即使直径为1的一组曲线，可能会从直径1的圆中“伸”出来，它也总是可以通过移动或旋转，以适应围成这个圆的六边形。
下图就展示了Pál提出的，可以覆盖各种形状(直径为1)的六边形。
上图中间的形状是一个勒洛三角形(Reuleaux triangle)，这是一个与我们上一小节提到的万有覆盖密切相关的定宽曲线。
勒洛三角形是一个弧三角形，通过三个相同的圆可以获得。
这个六边形的面积是√3/2≈0.866，比我们上小节所得到的面积还要小。
但Pál也表示，并不需要整个六边形。
他通过巧妙的旋转，去掉了一些无关部分。
首先，将两个Pál六边形堆叠在一起。
其中一个六边形绕中心旋转30度。
出现了6个红色小三角形。
每个红色小三角形，都处在未旋转六边形的外部，以及旋转六边形的内部。
由于每个六边形平行对边的距离是1个单位，所以对着的两个红色小三角形中的点距离肯定大于1个单位。
也就是说，一组直径为1的形状不可能同时出现在两个相对的红色小三角形中。
按照上一小节的思路，可能会觉得应该能从6个小三角形去掉3个小三角形，但实际上是不行的。
因为一个六边形旋转60度，或者对称翻转一下，都不会发生形状的改变。
所以从相对的一对中选择一个红色三角形只有两种不同的方法：
3个三角形可以是连续的，也可以是交替的。
但是，我们可以去掉2个这样的小三角形。Pál就是这么做的。
他从他的六边形上切下两个三角形，得到一个保证能覆盖所有直径为1的区域的新形状。
这种新的万有覆盖的面积是2-2/√3≈0.8453，比六边形面积略小一些。
但是Pál六边形并不是最优解。
在此基础上，数学家和数学爱好者们继续修修剪剪。
在1992年，数学家Roland Sprague和HC Hansen在Pál六边形上减去了三个小细条。
使面积缩小为0.844137708416。
Sprague减少了0.001单位面积，Hansen减少了0.00000000004单位面积。
退休程序员用高中几何，两次逼近极限
然后二十年过去了，这个问题毫无进展。
直到2014年，一位叫做Philip Gibbs的退休软件工程师尝试解决这个数学问题。
他利用自己的编程背景优势，尝试用电脑解来解决。
Gibbs首先对200个随机生成的直径为1的形状进行了计算机模拟。
这些模拟结果表明，他或许能够修剪一个最小万有覆盖空间顶部角落的一些区域。
随后，他证明了新的覆盖对所有可能的直径为1的形状都适用。
2015年2月，Gibbs和两位共同研究者将论文发表在了网上。
他们把最小万有覆盖面从0.8441377减少到0.8441153单位面积。
他的策略是将所有直径为1的形状移到他早些年发现的万有覆盖的某一角。
然后把对角部分剩下的任何区域都去掉；然而从节省面积测量的角度来说，却是非常精确的。
虽然此次减小的单位面积只有0.0000224，但这却几乎是汉森在1992年减少的面积的100万倍！
然而，这并未阻止他进一步的“裁剪”。
2018年10月，Gibbs独自又发布了一篇文章，再次将最小万有覆盖面积缩小。
要知道，在Gibbs的基础上再缩小覆盖面积实属不易。正如来自加州大学河滨分校的数学家约翰·贝兹所说：
你不可能真的把这些碎片画出来，因为他们都是原子大小的。
而Gibbs却再次突破了极限，堪称原子剪刀。
这一次他的着手点是上图中的点A和点E。
最终，通过这次研究，得到的最小面积就是0.8440935944。
值得一提的是，实验方法基本都属于高中几何知识。
正如贝兹所评价：
从数学角度来说，这只是高中几何难度，但是它几乎让人为之疯狂。
极限挑战，仍将继续
问题虽然还没有最终解决，但是在2005年的时候，有数学家计算出了这个问题的理论下限，万有覆盖范围不能小于0.832单位面积。
抵达终点最后一步步依旧等待人来跨越，困难之处依旧在于，直径唯一的形状千变万化，最后给出的范围需要涵盖所有可能性。
如果你做到了，名字就将载入数学史。