SciPy 积分

Scipy中的integrate模块提供了很多数值积分方法，例如，一重积分、二重积分、三重积分、多重积分、高斯积分等等。

下面介绍几种常用的积分函数。

一重积分

SciPy积分模块中，quad函数是一个重要函数，用于求一重积分。例如，在给定的a到b范围内，对函数f(x)求一重积分。

$$\int_a^bf(x)dx$$

quad的一般形式是scipy.integrate.quad(f, a, b)，其中f是求积分的函数名称，a和b分别是下限和上限。

示例

让我们看一个高斯函数的例子，求0到5范围内的积分。

首先需要定义函数$→f(x)=e^{-x2}$，这可以使用lambda表达式来表示，然后使用quad方法对其求一重积分。

import scipy.integrate
from numpy import exp
f = lambda x:exp(-x**2)
i = scipy.integrate.quad(f, 0, 5)
print(i)

输出

(0.8862269254513955, 2.3183115159980698e-14)

quad函数返回两个值，第一个值是积分的值，第二个值是对积分值的绝对误差估计。

示例

如果积分的函数f带系数参数，即：

$$I(a,b) = \int_0^1(ax^2+b)dx$$

那么a和b可以通过args传入quad函数：

from scipy.integrate import quad

def f(x, a, b):
    return a * (x ** 2) + b

ret = quad(f, 0, 1, args=(3, 1))
print (ret)

输出

(2.0, 2.220446049250313e-14)

重积分

要计算二重积分、三重积分、多重积分，可使用dblquad、tplquad和nquad函数。

二重积分

dblquad的一般形式是scipy.integrate.dblquad(func, a, b, gfun, hfun)，其中，func是待积分函数的名称，a、b是x变量的上下限，gfun、hfun为定义y变量上下限的函数名称。

示例

求二重积分：

$$\int_0^{\frac{1}{2}}dy\int_0^{\sqrt[]{1-4y^2}}19xydx$$

我们使用lambda表达式定义函数f、g和h。注意，在很多情况下g和h可能是常数，但是即使g和h是常数，也必须被定义为函数。

import scipy.integrate
from numpy import exp
from math import sqrt
f = lambda x, y : 19*x*y
g = lambda x : 0
h = lambda y : sqrt(1-4*y**2)
i = scipy.integrate.dblquad(f, 0, 0.5, g, h)
print (i)

输出

(0.59375, 2.029716563995638e-14)

除了上面介绍的方法外，Scipy的integrate模块中还有许多其他积分方法，例如nquad，用于求多重积分。不过，大部分场景quad和dblquad就够用了。